Der Wissenschaftler und Ingenieur Leitfaden zur digitalen Signalverarbeitung Von Steven W Smith, Ph D. Kapitel 15 Bewegen von durchschnittlichen Filtern. Relativen des Moving Average Filters In einer perfekten Welt, Filter Designer würden nur mit Zeitbereich oder Frequenzbereich codiert zu behandeln Information, aber niemals eine Mischung aus den beiden im selben Signal Leider gibt es einige Anwendungen, bei denen beide Domains gleichzeitig wichtig sind. Zum Beispiel fallen Fernsehsignale in diese böse Kategorie Videoinformation wird im Zeitbereich codiert, also die Form von Die Wellenform entspricht den Helligkeitsmustern im Bild Jedoch wird während der Übertragung das Videosignal entsprechend seiner Frequenzkomposition, wie z. B. seiner Gesamtbandbreite, behandelt, wie die Trägerwellen für die Klangfarbe hinzugefügt werden, die Eliminierungswiederherstellung der Gleichstromkomponente usw Als weiteres Beispiel wird elektromagnetische Interferenz am besten im Frequenzbereich verstanden, auch wenn die Signalinformation im Zeitbereich codiert ist. Beispielsweise könnte die Temperaturüberwachung in einem wissenschaftlichen Experiment mit 60 Hertz aus den Stromleitungen verunreinigt werden, 30 kHz von einer schaltenden Stromversorgung oder 1320 kHz von einem lokalen AM-Radiosender Die Verwandten des gleitenden Durchschnittsfilters haben eine bessere Frequenzdomänenleistung und können in diesen gemischten Domänenanwendungen nützlich sein. Mehrfachdurchlauf-Gleitmittelfilter beinhalten das Übergeben des Eingangssignals Durch einen gleitenden Mittelwertfilter zweimal oder mehrmal Abbildung 15-3a zeigt den Gesamtfilterkern, der aus einem, zwei und vier Durchgängen resultiert. Zwei Durchgänge sind gleichbedeutend mit der Verwendung eines dreieckigen Filterkerns, der mit einem rechtwinkligen Filterkernel versehen ist. Nach vier oder mehr Durchgängen, Äquivalent Filterkernel sieht aus wie ein Gaußscher Rückruf des zentralen Limit Theorem Wie in b gezeigt, produzieren mehrere Pässe eine s-förmige Schrittantwort, verglichen mit der geraden Linie des einzelnen Durchlaufs Die Frequenzantworten in c und d sind durch Gl. 15-2 gegeben Multipliziert mit sich selbst für jeden Durchlauf Das heißt, jedes Mal führt die Domänenfaltung zu einer Multiplikation der Frequenzspektren. Abbildung 15-4 zeigt den Frequenzgang zweier anderer Verwandter des gleitenden Durchschnittsfilters Wenn ein reiner Gaußscher als Filterkern verwendet wird, Der Frequenzgang ist auch ein Gaußscher, wie in Kapitel 11 diskutiert. Der Gauß ist wichtig, weil es die Impulsantwort vieler natürlicher und künstlicher Systeme ist. Beispielsweise wird ein kurzer Lichtpuls, der in eine lange faseroptische Übertragungsleitung eintritt, als Gaußscher Puls ausgehen Aufgrund der unterschiedlichen Wege der Photonen innerhalb der Faser Der Gaußsche Filterkernel wird auch weitgehend in der Bildverarbeitung verwendet, da er einzigartige Eigenschaften aufweist, die schnelle zweidimensionale Windungen ermöglichen, siehe Kapitel 24 Der zweite Frequenzgang in Abb. 15-4 entspricht Mit einem Blackman-Fenster als Filterkernel Der Begriff Fenster hat hier keine Bedeutung, es ist einfach Teil des akzeptierten Namens dieser Kurve Die genaue Form des Blackman-Fensters ist in Kapitel 16, 16-2, Abb. 16-2 gegeben Sieht so aus wie ein Gaußer. Wie sind diese Verwandten des gleitenden Durchschnittsfilters besser als der gleitende Mittelfilter selbst Drei Wege Zuerst und am wichtigsten, diese Filter haben eine bessere Stoppbanddämpfung als der gleitende Mittelwertfilter Zweitens verjüngen sich die Filterkerne zu einem kleineren Amplitude in der Nähe der Enden Erinnern Sie sich, dass jeder Punkt im Ausgangssignal eine gewichtete Summe einer Gruppe von Abtastwerten aus dem Eingang ist. Wenn sich der Filterkern verjüngt, werden die Abtastwerte im Eingangssignal, die weiter entfernt sind, weniger Gewicht gegeben als die Drittel Schritt-Antworten sind glatte Kurven, anstatt die abrupte gerade Linie des gleitenden Durchschnitt Diese letzten beiden sind in der Regel von begrenztem Nutzen, obwohl Sie vielleicht Anwendungen finden, wo sie echte Vorteile sind. Die gleitenden durchschnittlichen Filter und seine Verwandten sind alle etwa das gleiche bei der Verringerung Zufälliges Rauschen unter Beibehaltung einer scharfen Sprungantwort Die Mehrdeutigkeit liegt darin, wie die Laufzeit der Sprungantwort gemessen wird. Wenn die Anstiegszeit von 0 bis 100 des Schritts gemessen wird, ist der gleitende Mittelfilter das Beste, was Sie tun können, wie bereits im Vergleich gezeigt , Messen die risetime von 10 bis 90 macht das Blackman-Fenster besser als die gleitenden durchschnittlichen Filter Der Punkt ist, das ist nur theoretische Streitung betrachten diese Filter gleich in diesem Parameter. Der größte Unterschied in diesen Filtern ist die Ausführungsgeschwindigkeit Mit einem rekursiven Algorithmus beschrieben als nächstes , Der gleitende durchschnittliche filter läuft wie blitz in deinem computer In der Tat ist es der schnellste digitale Filter vorhanden Mehrere Pässe des gleitenden Durchschnitts werden entsprechend langsamer, aber immer noch sehr schnell Im Vergleich dazu sind die Gaussian - und Blackman-Filter quälend langsam, weil Sie müssen die Faltung verwenden Denken Sie einen Faktor von zehnmal die Anzahl der Punkte im Filterkern auf der Grundlage der Multiplikation, die etwa 10 mal langsamer als die Addition ist. Erwarten Sie beispielsweise, dass ein 100-Punkte-Gaussian 1000 mal langsamer als ein gleitender Durchschnitt mit Rekursion ist Version ist für Bequemlichkeit zur Verfügung gestellt, aber es ist nicht das beste Format für das Buch. Insbesondere sind einige der Symbole nicht korrekt wiedergegeben. Sie können es vorziehen, die PDF-Version zu lesen. Kapitel 8 Filterung und Faltung In diesem Kapitel präsentiere ich eine Von den wichtigsten und nützlichen Ideen im Zusammenhang mit der Signalverarbeitung des Faltungs-Theorems Aber bevor wir den Faltungs-Theorem verstehen können, müssen wir die Faltung verstehen. Ich beginne mit einem einfachen Beispiel, Glättung, und wir gehen von dort aus. Der Code für dieses Kapitel Befindet sich in dem Repository für dieses Buch siehe Abschnitt 0 2 Sie können es auch bei 8 ansehen 1 Smoothing. Figure 8 1 Täglicher Schlusskurs von Facebook-Lager und ein 30-Tage gleitender Durchschnitt. Smoothing ist eine Operation, die versucht zu entfernen Kurzfristige Abweichungen von einem Signal, um langfristige Trends aufzudecken. Zum Beispiel, wenn man täglich Änderungen im Preis einer Aktie verzeichnet, würde es laut aussehen, ein Glättungsoperator könnte es leichter machen zu sehen, ob der Preis in der Regel steigt Oder über die Zeit. Ein gemeinsamer Glättungsalgorithmus ist ein gleitender Durchschnitt, der den Mittelwert der vorherigen n Werte für einen Wert von n berechnet. Beispielsweise zeigt Abbildung 8 1 den täglichen Schlusskurs von Facebook vom 17. Mai 2012 bis Dezember 8, 2015 Die graue Linie ist die Rohdaten, die dunklere Linie zeigt den 30-tägigen gleitenden Durchschnitt Glättung entfernt die extremsten Veränderungen und macht es einfacher, langfristige Trends zu sehen. Schobevorgänge gelten auch für Tonsignale Ich beginne mit einer Rechteckwelle bei 440 Hz Wie wir in Abschnitt 2 2 gesehen haben, fallen die Oberschwingungen einer Rechteckwelle langsam ab, so dass es viele hochfrequente Komponenten enthält. Zuerst konstruiere ich das Signal und zwei Wellen. wave ist ein 1- Die zweite Scheibe des Signalsegments ist eine kürzere Scheibe, die ich für das Plotten benutze. Um den gleitenden Durchschnitt dieses Signals zu berechnen, verwende ich ein Fenster ähnlich dem in Abschnitt 3 7 Bisher haben wir ein Hamming-Fenster benutzt, um eine spektrale Leckage zu vermeiden Diskontinuität am Anfang und Ende eines Signals Im Allgemeinen können wir Fenster verwenden, um die gewichtete Summe von Samples in einer Welle zu berechnen. Zum Beispiel, um einen gleitenden Durchschnitt zu berechnen, werde ich ein Fenster mit 11 Elementen erstellen und es so normalisieren Add up to 1.Now kann ich den Durchschnitt der ersten 11 Elemente durch Multiplikation des Fensters durch die Welle array. padded ist eine Version des Fensters mit Nullen hinzugefügt, um das Ende, so ist es die gleiche Länge wie Hinzufügen von Nullen wie dies ist Genannt padding. prod ist das Produkt des Fensters und des Wellenarrays Die Summe der elementaren Produkte ist der Durchschnitt der ersten 11 Elemente des Arrays Da diese Elemente alle -1 sind, ist ihr Durchschnitt -1.Figur 8 2 Ein Quadrat Signal bei 400 Hz Grau und ein 11-Element gleitender Durchschnitt. Um das nächste Element des gleitenden Durchschnitts zu berechnen, rollen wir das Fenster, das die nach rechts verschiebt und eine der Nullen vom Ende bis zum Anfang wickelt Wir multiplizieren das gerollte Fenster und das Wellenfeld, wir erhalten den Durchschnitt der nächsten 11 Elemente des Wellenfeldes, beginnend mit dem zweiten. Das Ergebnis ist -1 wieder. Wir können den Rest der Elemente auf die gleiche Weise berechnen Die folgende Funktion Wraps den Code, den wir bisher in einer Schleife gesehen haben und speichert die Ergebnisse in einem Array. Schrotte ist das Array, das die Ergebnisse gefüllt enthält, ist ein Array, das das Fenster enthält und genügend Nullen, um die Länge N zu haben und gerollt ist eine Kopie von gepolstert Die nach rechts durch ein Element verschoben wird. In der Schleife vervielfachen wir ys durch Walzen, um 11 Elemente auszuwählen und sie hinzuzufügen. Abbildung 8 2 zeigt das Ergebnis für eine Rechteckwelle Die graue Linie ist das ursprüngliche Signal Die dunklere Linie ist das geglättete Signal Das geglättete Signal beginnt zu hochlaufen, wenn die Vorderflanke des Fensters den ersten Übergang erreicht und sich ausschaltet, wenn das Fenster den Übergang überschreitet. Als Ergebnis sind die Übergänge weniger abrupt und die Ecken weniger scharf Wenn du das geglättete Signal hörst, klingt es weniger buzzy und etwas gedämpft.8 2 Faltung Die Operation, die wir gerade die Anwendung einer Fensterfunktion auf jedes überlappende Segment einer Welle ausführen, heißt Faltung. Convolution ist eine solche Operation, die NumPy bietet Eine Implementierung, die einfacher und schneller ist als meine Version. Berechnet die Faltung des Wellenfeldes und des Fensters Das Modusflag gültig gibt an, dass es nur Werte berechnen sollte, wenn das Fenster und das Wellenfeld vollständig überlappen, also stoppt es, wenn der rechte Rand des Fensters das Ende des Wellenfeldes erreicht Dass das Ergebnis ist das gleiche wie in Abbildung 8 2.Aktuell gibt es einen anderen Unterschied Die Schleife im vorherigen Abschnitt tatsächlich berechnet Kreuz-Korrelation. Smoothing macht die Übergänge in einem quadratischen Signal weniger abrupt, und macht den Ton etwas gedämpft Let S sehen, welche Wirkung dieser Vorgang auf das Spektrum hat Erstes I ll zeichne das Spektrum der ursprünglichen Welle. Then die geglättete Welle. Die Modus-Flag selben zeigt an, dass das Ergebnis sollte die gleiche Länge wie die Eingabe In diesem Beispiel wird es ein Wenige Werte, die sich umwickeln, aber das ist jetzt ok. Abbildung 8 3 zeigt das Ergebnis Die Grundfrequenz ist fast unverändert Die ersten Harmonischen werden abgeschwächt, und die höheren Harmonischen sind fast eliminiert. So glättet die Wirkung eines Tiefpaßfilters , Die wir in Abschnitt 1 5 und Abschnitt 4 gesehen haben. 4. Um zu sehen, wieviel jede Komponente abgeschwächt ist, können wir das Verhältnis der beiden Spektren berechnen. Das Verhältnis der Amplitude vor und nach der Glättung Wenn die Verstärker klein sind, Verhältnis kann groß und laut sein, also für die Einfachheit habe ich das Verhältnis auf 0 gesetzt, außer wo die Oberschwingungen sind. Abbildung 8 4 Verhältnis der Spektren für die Rechteckwelle vor und nach der Glättung. Bild 8 4 zeigt das Ergebnis Wie erwartet ist das Verhältnis Hoch für niedrige Frequenzen und fällt bei einer Cutoff-Frequenz bei 4000 Hz ab. Aber es gibt noch ein anderes Merkmal, das wir nicht über dem Cutoff erwartet haben, das Verhältnis springt zwischen 0 und 0 an. 2 Was ist das mit dem. 8 4 Der Faltungs-Theorem. Figure 8 5 Verhältnis der Spektren für die Rechteckwelle, vor und nach der Glättung, zusammen mit der DFT des Glättungsfensters. Die Antwort ist der Faltungssatz Mathematisch gesendet. DFT f DFT g. wo ist f ein Wellenfeld und g ist ein Fenster In Worten sagt der Faltungstheorem, dass, wenn wir f und g konkurrieren und dann die DFT berechnen, erhalten wir die gleiche Antwort wie die Berechnung der DFT von f und g und dann multiplizieren die Ergebnisse element-weise. Wenn wir eine Operation wie Faltung an anwenden Eine Welle eine Welle, sagen wir, dass wir im Zeitbereich arbeiten, weil die Welle eine Funktion der Zeit ist Wenn wir eine Operation wie Multiplikation an die DFT anwenden, arbeiten wir im Frequenzbereich, weil die DFT eine Funktion der Frequenz ist Diese Begriffe können wir den Faltungssatz näher erläutern. Konvolution im Zeitbereich entspricht der Multiplikation im Frequenzbereich. Und das erklärt Abbildung 8 4, denn wenn wir eine Welle und ein Fenster falten, multiplizieren wir das Spektrum der Welle mit dem Spektrum des Fensters Um zu sehen, wie das funktioniert, können wir die DFT des Fensters berechnen. Das gefüllte Fenster enthält das Glättungsfenster, das mit Nullen gefüllt ist, um die gleiche Länge zu haben wie die Welle dftwindow die DFT von gepolstert enthält. Figur 8 5 zeigt das Ergebnis zusammen Mit den Verhältnissen, die wir im vorigen Abschnitt berechnet haben Die Verhältnisse sind genau die Amplituden in dftwindow Mathematisch. abs DFT fg abs DFT f abs DFT g In diesem Kontext wird die DFT eines Fensters als Filter für jedes Faltungsfenster im Zeitbereich bezeichnet Gibt es einen entsprechenden Filter im Frequenzbereich und für jeden Filter, der durch eine elementare Multiplikation im Frequenzbereich ausgedrückt werden kann, gibt es ein entsprechendes Fenster.8 5 Gaußscher Filter. In Abschnitt 8 2 habe ich Definitionen der Kreuzkorrelation vorgestellt Und Faltung, und wir sahen, dass sie fast die gleichen sind, außer dass in der Faltung das Fenster umgekehrt ist. Jetzt haben wir einen effizienten Algorithmus für die Faltung, können wir auch verwenden, um Kreuz-Korrelationen und Autokorrelationen zu berechnen Mit den Daten aus dem vorherigen Abschnitt, können wir die Autokorrelation Facebook Aktienkurse berechnen. With Modus gleich das Ergebnis hat die gleiche Länge wie enge entspricht Verzögerungen von N 2 bis N 2 1 Die graue Linie in Abbildung 8 8 zeigt das Ergebnis Außer bei lag 0 gibt es keine Peaks , So dass es in diesem Signal kein scheinbares periodisches Verhalten gibt. Allerdings fällt die Autokorrelationsfunktion langsam ab, was darauf hindeutet, dass dieses Signal dem rosa Rauschen ähnelt, wie wir in Abschnitt 5 gesehen haben. 3. Um die Autokorrelation mit der Faltung zu berechnen, müssen wir das Signal auf Null stellen Um die Länge zu verdoppeln Dieser Trick ist notwendig, weil die FFT auf der Annahme basiert, dass das Signal periodisch ist, das ist, dass es umgibt von Ende bis zum Anfang Mit Zeitreihen-Daten wie diese, ist diese Annahme ungültig Hinzufügen von Nullen und Dann beschneiden die Ergebnisse, entfernt die gefälschten Werte. Auch erinnern Sie sich, dass die Faltung die Richtung des Fensters umkehrt Um diesen Effekt abzubrechen, umkehren wir die Richtung des Fensters vor dem Aufruf von fftconvolve mit dem Flip ein NumPy-Array Das Ergebnis ist eine Ansicht von Das Array, nicht eine Kopie, so dass diese Operation schnell ist. Das Ergebnis von fftconvolve hat Länge 2 N Davon sind die ersten und letzten N 2 gültig der Rest sind das Ergebnis der Null-Padding Um das gültige Element zu wählen, rollen wir die Ergebnisse und wählt das erste N, das den Verzögerungen von N 2 bis N 2 1 entspricht. Wie in Abbildung 8 8 gezeigt, sind die Ergebnisse von fftautocorr und sind mit etwa 9 Ziffern der Präzision identisch. Nichts, dass die Korrelationen in Abbildung 8 8 große Zahlen sind Normalisieren sie zwischen -1 und 1, wie in Abschnitt 5 gezeigt. Die Strategie, die wir hier für die Autokorrelation verwendet haben, funktioniert auch für die Kreuzkorrelation. Wiederum müssen Sie die Signale vorbereiten, indem man sie umspiegelt und beiseite drückt und dann muss man sich trimmen Die ungültige Teile des Ergebnisses Diese Polsterung und Beschneidung ist ein Ärgernis, aber das ist der Grund, warum Bibliotheken wie NumPy Funktionen zur Verfügung stellen, um es für Sie zu tun.8 8 Übungen. Lösungen zu diesen Übungen sind in. Exercise 1 Das Notebook für dieses Kapitel ist durchlesen Es und führen Sie den Code. Es enthält ein interaktives Widget, mit dem Sie mit den Parametern des Gaußschen Fensters experimentieren können, um zu sehen, welche Wirkung sie auf die Cutoff-Frequenz haben. Was schief geht, wenn Sie die Breite des Gaußschen, Std erhöhen, ohne das zu erhöhen Anzahl der Elemente im Fenster, M. Exercise 2 In diesem Kapitel behauptete ich, dass die Fourier-Transformation einer Gaußschen Kurve auch eine Gaußsche Kurve ist Für diskrete Fourier-Transformationen ist diese Beziehung ungefähr wahr. Versuchen Sie es für ein paar Beispiele Was passiert Die Fourier-Transformation, wie Sie sich ändern Std. Exercise 3 Wenn Sie die Übungen in Kapitel 3 gemacht haben, sahen Sie die Wirkung des Hamming-Fensters und einige der anderen Fenster von NumPy, auf spektrale Leckage Wir können einen Einblick in die Wirkung von Diese Fenster mit Blick auf ihre DFTs. Zusätzlich zu dem Gaußschen Fenster, das wir in diesem Kapitel verwendet haben, erstellen wir ein Hamming-Fenster mit der gleichen Größe Zero-pad die Fenster und Plot ihre DFTs Welches Fenster fungiert als ein besseres Tiefpass-Filter Sie vielleicht finden Es ist sinnvoll, die DFTs auf einer Log-Skala zu zeichnen. Experiment mit ein paar verschiedenen Fenstern und ein paar verschiedenen Größen. Bist du mit einem unserer Bücher in einer Klasse. Wir möchten es gern wissen Bitte beachten Sie, dass Sie diese kurze Umfrage ausfüllen. Variationen auf dem Moving Average. Der Moving-Average-Filter ist mehr oder weniger perfekt für die Glättung von Daten in Gegenwart von Rauschen, wenn die nützlichen Informationen in Ihren Daten vollständig im Zeitbereich sind. In diesem Fall kümmern Sie sich nicht um seine eher Schlechte Leistung im Frequenzbereich Abbildung 1 zeigt die Impuls-, Schritt - und Frequenzreaktionen des grundlegenden gleitenden Durchschnittsfilters mit drei zusätzlichen Proben auf beiden Seiten, die nicht Teil der Impuls - und Schrittreaktionen sind, zur Klarheit. Figur 1 Impuls links, Schritt Mitte und Frequenzrechtsreaktionen für den gleitenden Durchschnitt. Manchmal muss man aber mit Daten arbeiten, für die beide Domains wichtig sind. Für diese Fälle gibt es gewichtete Versionen des gleitenden Durchschnitts, die in der Zeit mehr oder weniger gleich sind Domain, aber das haben viel bessere Leistung in der Frequenz Domain. Repeated Moving Average. Die erste Sache, die Sie tun können, um den Frequenzgang des gleitenden Durchschnitt zu verbessern ist, es mehrmals anzuwenden Nach zwei Wiederholungen, dies entspricht einer dreieckigen Gewichtung Der Koeffizienten Abbildung 2 Da die Anwendung des gleichen Filters zweimal seine Wirkung verdoppelt, ist die erste Seitenkeule des Frequenzganges nur halb so hoch wie die von Fig. 1. Der Grund für die dreieckige Form ist, daß der gleitende Durchschnitt eine Faltung mit a ist Rechteckiger Impuls Wenn man ihn zweimal anlegt, bewirkt dies eine Faltung dieses rechteckigen Pulses mit sich selbst, was zu einem dreieckigen Fenster für den kombinierten Filter führt. Man beachte, daß ich die gleiche Filterlänge in Fig. 2 wie in Fig. 1 genommen habe, wodurch die erste Null des Frequenzgangs verschoben wird Eine echte Faltung des ursprünglichen rechteckigen Filters hätte zu einem längeren Filter geführt und hätte die Nullen an genau der gleichen Stelle gehalten, natürlich. Figur 2 Impuls links, Schritt Mitte und Frequenzrechtsreaktionen für das dreieckige Fenster. Wenn das Bewegen - ein Filter wird mehrfach wiederholt, seine Koeffizienten konvergieren zu einem Gaußschen Fenster Abbildung 3 wegen des zentralen Grenztheorems Natürlich erstreckt sich ein tatsächlicher Gaußscher unendlich in beide Richtungen, so dass es keine andere Möglichkeit gibt, ihn irgendwann zu schneiden Vielleicht multiplizieren Sie es mit einem zweiten Fenster Zusätzlich muss die Standardabweichung des Gaußschen gewählt werden. Für diese Illustration und für die Implementierung des Filterdesigners habe ich die Standardeinstellungen von MATLAB. Figure 3 Impulse links, Schrittmittel und Frequenz rechts übernommen Reaktionen für das Gaußsche Fenster. In der Praxis können Sie einfach nur wiederholt den gleitenden Durchschnitt anwenden, anstatt ein Gaußsch-Fenster anzuwenden. Wenn es rekursiv umgesetzt wird, ist der gleitende Durchschnitt sehr effizient, während das Gaußsche Fenster durch Faltung implementiert werden muss. Blackman-Fenster. Eine andere Möglichkeit Ist es, eine der klassischen Fensterfunktionen auszuwählen, die für windowed-sinc-Filter verwendet werden und diese als Filterkernel verwenden, siehe die hervorragende Wikipedia-Seite auf Fensterfunktionen Als Beispiel habe ich das Blackman-Fenster ausgewählt. Abbildung 4 Das verbessert die Stop - Band-Dämpfung noch weiter, während immer noch eine reibungslose Zeit-Domain-Antwort ohne Klingeln oder Überschwingen. Figure 4 Impuls links und Frequenz rechts Antworten für die Blackman-Fenster. Folgen, wenn Sie brauchen, um Daten zu reiben, sondern benötigen eine bessere Frequenz Leistung als die grundlegende Gleitender Durchschnitt zu bieten hat, sind mehrere Alternativen verfügbar. Filter Design Tool. This Artikel wird mit einem Filter Design Tool Experiment mit den verschiedenen Fenster Funktionen und die Länge des Filters, und sehen Sie den Effekt auf die Frequenzantwort Versuchen Sie es jetzt.
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